Introducción a los Terceractos o Hipercubos

Este blog esta hecho con el fin de informar a profundidad sobre la forma geométrica terceracto o hipercubo siendo esta una forma geométrica hipotética ya que de momento no es posible representarla en este plano debido a que es una figura de 4 dimensiones y no de 3 como lo son las figuras geométricas habituales.


En geometría, un hipercubo es un análogo n-dimensional de un cuadrado (n = 2) y un cubo (n = 3). Se trata de una figura cerrada, compacta y convexa cuyo esqueleto consiste en grupos de segmentos de línea paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio, perpendiculares entre sí y de la misma longitud. La diagonal más larga de una unidad hiper cúbica en n dimensiones es igual a 


https://es.wikipedia.org/wiki/Hipercubo

Terminología y Definición matemática

Teseracto es un término que posee cierto uso en la geometría donde también es conocido como hipercubo, cuyas palabras describen una determinada figura que se forma a partir de dos cubos tridimensionales que se desplazan en un cuarto eje dimensional, donde podemos catalogar al primero “longitud”, por otro lado al segundo “altura”, y finalmente al tercero, “profundidad”. El teseracto, en un dado espacio tetradimensional, es un cubo de cuatro dimensiones espaciales. integrándose de 8 celdas cubicas de 24 caras cuadradas 16 vértices 32 aristas, claro está, tomando en cuenta el desarrollo del polinomio (x+2)n, donde el valor de n es equivalente al número de dimensiones, que en este caso seria 4, y x es el largo, ancho, alto, entre otros, de la figura polidimensional equilátera.

Vértices

Los vértices del cubo unitario son los puntos (x, y, z, t) en los cuales x, y, z, t están reemplazados o bien por un cero o bien por la unidad. Dichos vértices son 16 porque representan el número de permutaciones con repetición de tamaño cuatro con dos datos.

Aristas

Se llaman aristas del cubo unitario de cuatro dimensiones los conjuntos de puntos​ que tienen todas sus coordenadas, a excepción de una, constantes (iguales a 0 ó 1) y la cuarta toma todos los valores desde 0 hasta 1. Por tanto cualquier arista es un conjunto de la forma:

${\displaystyle E_{i}=\{x\in \mathbb {R} ^{4}|\exists \lambda :x=x_{0}+\lambda \mathbf {e} _{i},0\leq \lambda \leq 1\}}$

donde:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$, es un elemento de la base canónica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{4}}$, designa uno de los vértices del cubo, adecuadamente escogido.

Ejemplos de aristas:

1. x=0, y=0, z=0, 0 ≤ t ≤ 1
2. 0 ≤ x ≤ 1, y=0, z=0, t=0
3. x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0, t = 1

Hay 32 aristas del cubo unitario tetradimensional.

Caras bidimensionales y tridimensionales

Las caras bidimensionales pueden escribirse como combinaciones lineales de dos los puntos de dos aristas:

${\displaystyle C_{ij}^{(2)}:=\langle \lambda E_{i}+\mu E_{j}\rangle =\{p\in \mathbb {R} ^{4}|\exists \lambda ,\mu :p=\lambda x_{i}+\mu x_{j},0\leq \lambda ,\mu \leq 1,x_{i}\in E_{i},x_{j}\in e_{j}\}}$

Análogamente las caras tridimensionales son conjuntos de la forma:

${\displaystyle C_{ijk}^{(3)}:=\langle \lambda E_{i}+\mu E_{j}+\nu E_{k}\rangle }$

Diagonal principal

En un n-cubo la diagonal principal viene dada por:

${\displaystyle D_{n}=L{\sqrt {n}}}$

siendo L la longitud de la arista, como se puede demostrar por inducción a partir del teorema de Pitágoras:

${\displaystyle D_{n}^{2}=D_{n-1}^{2}+L^{2},\qquad D_{1}=L}$

Para un hipercubo ordinario en cuatro dimensiones (n = 4) la diagonal principal mide el doble del lado de la arista D_n = 2L.

Hipervolumen y volumen

El hipervolumen tetradimensional encerrado en un hipercubo es L⁴ mientras que el volumen de su frontera es 8L³. Para un n-cubo se tienen para las medidas de n-volumen:

${\displaystyle V_{n}=L^{n},\qquad V_{n-1}=(2n)L^{n-1}}$

https://conceptodefinicion.de/hipercubo/
https://culturacientifica.com/2015/09/09/hipercubo-visualizando-la-cuarta-dimension/
https://www.teknoplof.com/2010/03/16/teoria-de-la-cuarta-dimension-el-hipercubo/ 
http://geogebra.es/cvg/15/html/hipercubo.html